分数次导数的一个粗糙观点
2015-06-16
导数(高维时, 梯度)本质上反映了函数的光滑性. 函数的很多好性质均可通过导数(梯度)表达出来。然而数学与物理的很多研究(如涉及分形的研究)常遇到导数性质太坏和不可导的函数。这时需要导数的替代品:分数次导数。分数次导数可通过Fourier变换严格定义. 由于Fourier变换本身蕴涵了复杂的思想和隐藏了许多直观认识,这里我不打算去回顾分数次导数的Fourier变换严格定义。取而代之,基于直观认识和对Fourier变换的理解,我将给出分数次导数的粗糙观点:一个尺度不等式刻画。这已能帮助我们解决很多关心的问题。
为阐述我们关于分数次导数的粗糙观点。首先注意到[0,1]区间上的1阶连续可微函数u 满足Lipschitz性质:即存在常数L>0使得 有

对于导数无界及导数在某些子集上不存在的函数,一般不能期望有Lipschitz性质, 见以下两个例子.
例1 (玩具模型). [0,1]区间上的函数 . 该函数除去0点后都可导,但导数 是无界的. 容易验证, v不具有Lipschitz性质.
例2 (Cantor函数). 出现在分形研究中的Cantor函数则给出一个更为本质和典型的例子. Cantor函数构造如下. 首先,将[0,1]分为三个区间 [0,1/3],[1/3,2/3]和[2/3,1];对[1/3,2/3]中的点x,定义c(x)=1/2. 其次,将[0,1/3]分为三个区间[0,1/9], [1/9,2/9]和[2/9,1/3];对 [1/9,2/9]中的点x,定义c(x)=1/4. 类似地,将[2/3,1]分为三个区间[2/3,7/9], [7/9,8/9]和[8/9,1]; 对[7/9,8/9]中的点x,定义c(x)=3/4. 继续这个过程, 我们便得到定义在[0,1]区间上的连续函数c, 其中c(0)=0, c(1)=1. 图像如下:




函数c在取常数值的区间内部可导且导数为0,而在Cantor集上(尤其是这些区间端点处)不可导. 函数c不满足Lipschitz性质;事实上, c(3-k)-c(0)=2-k,从而不可能有常数L使得2-k<L3-k.
虽然函数c和v没有Lipschitz性质,但通过仔细观察可知他们均满足分数次Lipschitz性质:对任给 , 存在常数 使得 有

(当 时,这并不正确); 对任给 , 存在常数 使得 有

(当 时,这并不正确). 在这个意义下,分数次Lipschitz性质似乎可以满足我们刻画分数次倒数的要求。然而,观察到分数次Lipschitz性质只刻画了函数整体正则性,失去了导数刻画无穷小行为的特点,也失去了Fourier变换从不同频率空间看函数的优势. 事实上,函数v在靠近0的地方正则性差,但远离0的地方正则性好;函数c在取常值的子区间内部正则性好,而在Cantor集上(尤其是子区间端点处) 正则性差. 因此分数次Lipschitz性质不足以反映分数次导数.
为找到合适的分数次导数刻画, 我们[1,2]把分数次Lipschitz性质局部化和尺度化。具体地,任给 ,称一列函数{gk}为函数w的 阶上梯度如果 ,当 时总有

通过测量{gk}的大小,我们将给出函数w的分数次导数的大小. 这一基本思想已经被我们[1,2,3]用来刻画具有分数次正则性的函数空间以及建立函数空间的拟共形不变性,并被美国加州大学洛杉矶分校Mario Bonk教授(国际数学家大会报告人)等[4]和芬兰于韦斯屈莱大学Pekka Koskela教授(国际数学家大会报告人)等[5]用于Gromov双曲空间上的拟等距不变量和拟共形几何研究.

周渊,数学与系统科学学院,副教授,卓越百人,E-mail: yuanzhou@buaa.edu.cn


参考文献
[1] P. Koskela, D. Yang,Yuan Zhou(通信作者), Advance in Math. 226 (2011), 3579-3621.
[2] A. Gogatishvili, P. Koskela, Yuan Zhou(通信作者), Forum Math. 25 (2013), 787-819.
[3] P. Koskela, J. Xiao, Y. Zhang, Yuan Zhou(通信作者), J. Eur. Math. Soc. 2015已录用.
[4] M. Bonk, E. Saksman, T. Soto, arxiv: 1411.5906v1.
[5] S. Hencl, P. Koskela, Math. Nachr. 286 (2013), 669–678.